Bijstelling van een machine
Sioux LIME ontwikkelde een wiskundig model dat binnen 12 milliseconden berekent hoe de onderdelen van een machine moeten worden bijgesteld. Zo worden tijdens de productie afwijkingen in het product als gevolg van een opwarming van de machine continu gecorrigeerd.
We maken ook een machine. Een balletje wordt vanaf de grond onder een bepaalde hoek met de grond via een veer weggeschoten. Het moet een voorwerp dat op de grond ligt zo goed mogelijk raken. De veer, die ingedrukt wordt en later ontspant, geeft de bal een beginsnelheid. De beginsnelheid wordt steeds gemeten. De veer gaat "slijten". De beginsnelheid wordt kleiner. Het voorwerp wordt minder goed geraakt! De veer vervangen is duur. Dus de hoek bijstellen. Welke waarde krijgt de hoek?
De beweging vindt plaats in het XOY-vlak. X-as: horizontaal. Y-as: vertikaal. Het voorwerp bevindt zich op de plaats (A,0). We verwaarlozen de luchtwrijving. Het balletje heeft een massa van 50 gram en bevindt zich op t=0 sec in de oorsprong (0,0). De versnelling van de zwaartekracht is g (9,81 m.sec-2).De beginsnelheid v0 maakt een hoek van H graden met de X-as.
- Toon aan dat: H= 60 als A=4,5 m en v0=7,1 m/sec.
- Bewijs dat: 9,81 x A = (v0)2 x sin(2H).
Als v0 en A bekend zijn (binnen bepaalde grenzen) kan de hoek H dus berekend worden en wordt het voorwerp steeds geraakt.
Stel dat de luchtwrijving een rol speelt.Voor deze wrijving Fw geldt: Fw=k.v2
- Van welke factoren hangt k af?
Om k te kunnen bepalen wordt het balletje vanuit stilstand op een hoogte van 4,0 m boven de grond losgelaten.De valtijd wordt gemeten.
- Voer deze proef uit en bepaal de valtijd.
We maken een wiskundig model van deze beweging en gebruiken de valtijd om k te kunnen bepalen.
Het beginpunt wordt als oorsprong O gekozen en de positieve Y-as gaat naar beneden.
Er geldt dan: a = g - Fw/m of a = g - (k/m).(v2). In dt sec neemt de snelheid v toe met dv = a.dt. Voor de plaats y is dan de toename dy met dy = v.dt. Op t=0 geldt: v=0 en y=0. Als t=valtijd van de proef dan moet voor een bepaalde waarde van k/m gelden: y=4,0.
Met de grafische rekenmachine (optie: sequences/rijen) is het mogelijk om de waarde van k/m te vinden. De snelheid v op tijdstip nxT geven we aan met v(n). De plaats y op tijdstip nxT is y(n).
Neem k/m = 0,2 als voorlopige keuze. T=0,01.
v(n)=v(n-1)+(9.81-0.2x(v(n-1))2)x0.01
y(n)=y(n-1)+(v(n-1))x0.01
- Bereken de valtijd en vergelijk die met de valtijd van de proef.
- Als de tijden niet gelijk zijn herhaal de berekening dan met andere waarden voor k/m net zo lang tot de tijden wel gelijk zijn.
- Welke waarde heeft k/m? en Welke waarde heeft k?
Voor de machine kunnen we een model van de beweging van het balletje in het XOY-vlak opstellen. Het beginpunt wordt weer als oorsprong gekozen en de positieve Y-as gaat naar boven.
Gebruik de volgende waarden: A=4,8 m, v0=6,5 m/sec , k/m=0,15
- Stel een wiskundig model van deze beweging op.
- Selecteer een bestaand computerprogramma, gebruik het wiskundig model en bepaal de waarde van H. Indien er geen waarde voor H bestaat, pas dan A aan.